편미분

다변수 함수에서 한 변수만 변화시키고 나머지를 상수로 고정하여 미분하는 것이다.

정의

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}$$

$$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x,\,y+h) - f(x,\,y)}{h}$$

방법: $x$로 편미분 → $y$를 상수 취급. $y$로 편미분 → $x$를 상수 취급.

예제 1

$f(x, y) = x^3 + 2x^2y + y^3$ 의 편미분을 구하라.

$$f_x = 3x^2 + 4xy$$

$$f_y = 2x^2 + 3y^2$$

예제 2 — 지수/삼각 혼합

$f(x, y) = e^{xy} \sin y$ 의 편미분을 구하라.

$\sin y$는 상수, $e^{xy}$만 $x$로 미분

$$f_x = y e^{xy} \sin y$$

곱의 법칙 적용

$$f_y = x e^{xy} \sin y + e^{xy} \cos y$$

예제 3 — 세 변수

$f(x,y,z) = x^2 yz + \ln(xz)$ 의 편미분을 구하라.

$$f_x = 2xyz + \frac{1}{x}$$ $$f_y = x^2 z$$ $$f_z = x^2 y + \frac{1}{z}$$

편미분을 반복 적용한다.

$$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$$

$$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, \quad f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$$

클레로의 정리: 연속인 이계 편미분이 존재하면 순서가 바뀌어도 같다.

$$f_{xy} = f_{yx}$$

예제 — 고계 편미분

$f(x,y) = x^3 y^2 + e^x \sin y$ 의 $f_{xx},\; f_{yy},\; f_{xy}$를 구하라.

$f_x = 3x^2 y^2 + e^x \sin y$

$f_y = 2x^3 y + e^x \cos y$

$$f_{xx} = 6xy^2 + e^x \sin y$$ $$f_{yy} = 2x^3 - e^x \sin y$$ $$f_{xy} = 6x^2 y + e^x \cos y$$

모든 편미분을 벡터로 모은 것이다. 함수가 가장 빠르게 증가하는 방향을 가리킨다.

$$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\; \frac{\partial f}{\partial y}\right)$$

예제

$f(x,y) = x^2 + y^2$ 에서 점 $(1, 2)$의 gradient.

$f_x = 2x,\; f_y = 2y$

$$\nabla f\big|_{(1,2)} = (2, 4)$$

$z = f(x,y)$이고 $x = x(t),\; y = y(t)$이면:

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$