라플라시안 & 벡터 미분 연산자
$\nabla$ (nabla) 연산자를 여러 방식으로 적용하면 그래디언트·발산·회전·라플라시안이 나온다.
nabla 연산자
$$\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x},\; \frac{\partial}{\partial y},\; \frac{\partial}{\partial z}\right)$$
스칼라 함수에 적용하면 그래디언트, 벡터 함수에 내적하면 발산, 외적하면 회전이 된다.
발산 (Divergence)
$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F}$
벡터 필드 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$:
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$
물리적 의미: 점 $\mathbf{x}$에서 단위 부피당 유체가 얼마나 퍼져 나가는지(원천) 또는 모여드는지(흡원).
- $\nabla \cdot \mathbf{F} > 0$: 그 점이 source (발산)
- $\nabla \cdot \mathbf{F} < 0$: 그 점이 sink (수렴)
- $\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$: 비압축성 유체 (비발산 필드)
예제
$\mathbf{F}(x,y,z) = (x^2, y^2 z, xz^2)$
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = 2x + 2yz + 2xz$$
회전 (Curl)
$\operatorname{curl}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F}$
$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ P & Q & R \end{vmatrix}
= \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$$
물리적 의미: 벡터 필드의 국소적 회전 정도와 축 방향. 크기는 회전 각속도의 두 배.
- $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$: 보존 필드 (퍼텐셜 존재)
- 전자기학: $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ (앙페르 법칙)
예제
$\mathbf{F} = (-y, x, 0)$ (xy평면에서 반시계 회전 필드)
$$\nabla \times \mathbf{F} = (0-0,\; 0-0,\; 1-(-1)) = (0, 0, 2)$$
$z$축 방향으로 크기 2의 회전.
라플라시안 (Laplacian)
$\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f$
그래디언트의 발산 = 모든 이계 편미분의 합:
$$\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$$
기하학적 의미: $f(\mathbf{x})$가 주변 평균보다 큰지($\nabla^2 f < 0$) 작은지($\nabla^2 f > 0$) 나타낸다.
예제 1
$f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$
$$\nabla^2 f = 2 + 2 + 2 = 6$$
예제 2 — 조화함수
$f(x,y) = x^2 - y^2$ (쌍곡포물면)
$$\nabla^2 f = 2 + (-2) = 0$$
$\nabla^2 f = 0$ 인 함수를 조화함수(harmonic function)라 한다. 정상 상태 열전도, 전위 등이 이 방정식을 만족한다.
중요한 방정식들
| 방정식 | 수식 | 설명 |
|---|
| 라플라스 방정식 | $\nabla^2 f = 0$ | 정상 상태: 열전도, 전위, 유체 |
| 푸아송 방정식 | $\nabla^2 f = \rho$ | 소스가 있는 경우 |
| 열 방정식 | $\partial_t u = k\nabla^2 u$ | 시간에 따른 열확산 |
| 파동 방정식 | $\partial_{tt} u = c^2 \nabla^2 u$ | 파동 전파 |
항등식 요약
$$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0} \qquad \text{(그래디언트의 회전은 항상 0)}$$
$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0 \qquad \text{(회전의 발산은 항상 0)}$$
$$\nabla^2 f = \nabla \cdot (\nabla f)$$
$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{F}) - \nabla^2 \mathbf{F}$$
이미지 처리에서의 라플라시안:
픽셀 값 $I(x,y)$에 이산 라플라시안을 적용하면 에지(경계)가 강조된다.
$\nabla^2 I < 0$ → 밝은 점, $\nabla^2 I > 0$ → 어두운 점. 라플라시안 오브 가우시안(LoG)은
노이즈 제거 후 에지 검출에 쓰인다.
연산자 비교
| 연산자 | 입력 | 출력 | 표기 |
|---|
| 그래디언트 | 스칼라 $f$ | 벡터 | $\nabla f$ |
| 발산 | 벡터 $\mathbf{F}$ | 스칼라 | $\nabla \cdot \mathbf{F}$ |
| 회전 | 벡터 $\mathbf{F}$ | 벡터 | $\nabla \times \mathbf{F}$ |
| 라플라시안 | 스칼라 $f$ | 스칼라 | $\nabla^2 f$ |