방향 도함수
임의의 방향 $\hat{u}$로 이동할 때 함수 $f$가 얼마나 빠르게 변화하는지 나타낸다.
편미분은 축 방향($x$축, $y$축)만 다루지만 방향 도함수는 모든 방향을 다룬다.
정의
$$D_{\hat{u}}f(\mathbf{x}) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{x} + h\hat{u}) - f(\mathbf{x})}{h}$$
$\hat{u}$는 단위벡터 ($\|\hat{u}\| = 1$) 여야 한다. 방향만 담고 크기는 1로 고정해야
"단위 거리당 변화율"이 올바르게 측정된다.
그래디언트로 계산하기
$f$가 미분 가능하면 방향 도함수는 그래디언트와의 내적으로 간단히 계산된다.
$$D_{\hat{u}}f = \nabla f \cdot \hat{u}$$
내적을 풀면:
$$D_{\hat{u}}f = \|\nabla f\| \cos\theta$$
여기서 $\theta$는 $\nabla f$와 $\hat{u}$ 사이의 각도.
최대·최소 변화율
- 최대 증가: $\hat{u} = \dfrac{\nabla f}{\|\nabla f\|}$ 방향, 크기 $= \|\nabla f\|$
- 최대 감소: $\hat{u} = -\dfrac{\nabla f}{\|\nabla f\|}$ 방향, 크기 $= -\|\nabla f\|$
- 변화 없음: $\nabla f \perp \hat{u}$, 즉 $\cos\theta = 0$ — 등위선 방향
예시
예제 1 — 기본 계산
$f(x,y) = x^2 y + y^3$, 점 $(1, 2)$에서 방향 $\mathbf{v} = (3, 4)$로의 방향 도함수.
①단위벡터: $\hat{u} = \dfrac{(3,4)}{5} = \left(\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}\right)$
②그래디언트: $\nabla f = (2xy,\; x^2 + 3y^2)$
③점 $(1,2)$ 대입: $\nabla f\big|_{(1,2)} = (4, 13)$
④$$D_{\hat{u}}f = (4, 13) \cdot \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) = \frac{12}{5} + \frac{52}{5} = \frac{64}{5}$$
예제 2 — 최대 변화율 방향 찾기
$f(x,y) = \ln(x^2 + y^2)$, 점 $(1, 1)$에서 가장 빠르게 증가하는 방향과 크기.
①$\nabla f = \left(\dfrac{2x}{x^2+y^2},\; \dfrac{2y}{x^2+y^2}\right)$
②점 $(1,1)$: $\nabla f = (1, 1)$
③최대 증가 방향: $\hat{u} = \dfrac{(1,1)}{\sqrt{2}} = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
④최대 변화율: $\|\nabla f\| = \sqrt{2}$
예제 3 — 3변수
$f(x,y,z) = xyz$, 점 $(2, -1, 1)$에서 $\mathbf{v} = (1, 2, -2)$ 방향.
①$\hat{u} = \dfrac{(1,2,-2)}{3} = \left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}, -\dfrac{2}{3}\right)$
②$\nabla f = (yz, xz, xy)\big|_{(2,-1,1)} = (-1, 2, -2)$
③$$D_{\hat{u}}f = (-1)\cdot\tfrac{1}{3} + 2\cdot\tfrac{2}{3} + (-2)\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right) = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{4}{3} + \tfrac{4}{3} = \frac{7}{3}$$
편미분과의 관계
편미분은 방향 도함수의 특수한 경우다.
$$\frac{\partial f}{\partial x} = D_{\hat{i}}f = \nabla f \cdot (1, 0, \ldots)$$
$$\frac{\partial f}{\partial y} = D_{\hat{j}}f = \nabla f \cdot (0, 1, 0, \ldots)$$
각도와 변화율
| $\theta$ ($\nabla f$와 $\hat{u}$ 사이) | $D_{\hat{u}}f$ | 의미 |
|---|
| $0°$ | $\|\nabla f\|$ (최대) | 가장 빠른 증가 |
| $90°$ | $0$ | 변화 없음 (등위선 방향) |
| $180°$ | $-\|\nabla f\|$ (최소) | 가장 빠른 감소 |